LOGARITMA

Pada postingan kali ini saya akan membahas tentang sejarah logaritma dan  materi logaritma. 

Materi logaritma bagi dalam empat sub bab, yaitu:

 

1. Definisi dan Sifat - sifat logaritma

2. Persamaan logaritma

3. Pertidaksamaan logaritma

4. Fungsi logaritma

Sejarah Logaritma

Biografi John Napier - Penemu Logaritma

 

John Napier, ahir di puri Merchiston, dekat Edinburgh, Skotlandia. Anak Sir Archibald Napier dari istri pertama, Janet Bothwell. Ketika umur 14 tahun, Napier dikirim ke universitas St. Andrews untuk belajar theologi. Setelah berkelana ke mancanegara, Napier pulang ke kampung halaman pada tahun 1571 dan menikah dengan Elizabeth Stirling dan mempunyai dua orang anak. Tahun 1579, istrinya meninggal dan menikah lagi dengan Agnes Chisholm. Perkawinan kedua ini memberinya sepuluh orang anak.

Anak kedua dari istri kedua, Robert, kelak menjadi penterjemah karya-karya ayahnya. Sir Archibald meninggal pada tahun 1608 dan John Napier menggantikannya, tinggal di puri Merchiston sepanjang hayatnya.

Napier bukanlah matematikawan profesional. Berkewarganegaan Skotlandia, dia adalah seorang Baron yang tinggal di Murchiston dan memiliki banyak tanah namun juga mempunyai hobi menulis berbagai topik yang menarik hatinya. Dia hanya tertarik meneliti salah satu aspek dalam matematika, teristimewa yang berhubungan dengan perhitungan dan trigonometri. Istilah “kerangka Napier” (Napier frame) menunjuk kepada tabel-tabel perkalian dan “Analogi Napier” dan “Hukum bagian-bagian lingkaran Napier” adalah alat bantu untuk mengingat dalam kaitannya dengan trigonometri lingkaran. Napier mengatakan bahwa penelitian dan penemuannya tentang logaritma terjadi dua-belas tahun silam sebelum dipublikasikan. Pernyataan ini menunjuk bahwa ide dasarnya terjadi pada tahun 1594. Meskipun ditemukan oleh Napier akan tetapi ada peran pendahulunya. Stifel menulis Arithmetica integra pada 50 tahun silam dengan pedoman karya-karya Archimedes. Angka dengan pangkat dua adalah dasarnya, meski tidak dapat digunakan untuk tujuan penghitungan karena ada selisih yang terlalu besar dan cara interpolasi tidak memberikan hasil secara akurat.
Pengaruh pemikiran Dr. John Craig tidak dapat dikesampingkan, mempengaruhi John Napier. Pertemuan tidak sengaja terjadi ini, terjadi saat rombongan Craig dalam perjalanan menuju Denmark dengan menggunakan kapal, terjadi badai besar sehingga membuat rombongan ini berhenti tidak jauh dari observatorium Tycho Brahe, tidak jauh dari tempat Napier. Sambil menunggu badai reda, mereka berdiskusi tentang cara-cara penghitungan yang digunakan dalam observatorium. Diskusi ini membuat Napier lebih termotivasi sehingga pada tahun 1614 diterbitkan buku Gambaran tentang aturan dalam logaritma (A Description of the Marvelous Rule of Logaritms).

Logaritma
Awal penemuan Napier tentang sebenarnya sangat sederhana. Menggunakan progresi geometrik dan integral secara bersamaan. Ambillah sebuah bilangan tertentu yang mendekati angka 1. Napier menggunakan 1 – 107 (atau 0,9999999) sebagai bilangan. Sekarang, istilah progresi dari pangkat yang terus meningkat sampai akhirnya hasilnya mendekati – sangat sedikit selisihnya. Untuk mencapai “keseimbangan” dan menghindari terjadi (bilangan) desimal dikalikan dengan 107.

N = 107(1 – 1/107)L, dimana L adalah logaritma Napier sehingga logaritma dari 107 sama dengan nol, yaitu: 107 (1-1/107) = 0,9999999 adalah 1 dan seterusnya. Apabila bilangan tersebut dan logaritma dibagi 107, akan ditemukan - secara virtual – sistem logaritma sebagai basis 1/e, untuk (1-1/107)107 mendekati Lim n→∞ (1 – 1/n)n = 1/e.

Mari kita bahas satu persatu
 

Definisi Logaritma

merupakan operasi invers dari eksponen yang dinotaiskan dalam bentuk:

^alog b = c  atau  log_ab = c   syarat b>0 , a>0  a tidak sama dengan 1 keterangan: 

• a disebut basis logaritma
• ^alog b = c senilai  b= a^c 

Sifat-sifat  Logaritma Menetukan logaritma dapat menggunakan tabel logaritma, kalkulator atau menggunakan rumus-rumur  sebagai beriktu: 

• ^alog a = 1
• ^a log bⁿ = n.^alog b
• ^anlog b^m = m/n ^alog b 
• ^alog b + ^alog c = ^alog (b.c)
• ^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)
• (^alog b)(^blog c) = ^alog c
• a^(  ^alog b )=b
• a^( ^blog c)= b^( ^alog c )

Persamaan Logaritma

Jika diketuhi fungsi f(x) dan g(x) maka bentuk-bentuk persamaan logaritma yang mungkin muncul adalah sebagai berikut

1. ^alog f(x) = ^alog g(x)  artinya f(x) = g(x) dan  syarat f(x) > 0 , g(x) > 0
2. ^alog f(x) = ^blog f(x)   artinya f(x) = 1     dan  syarat f(x) > 0
3. A(  ^alog ² f(x)) + B( ^alog f(x)) + C = 0, pemisalan:  ^alog f(x) = p

Pertidaksamaan Logaritma

1. ^alog f(x) > ^alog g(x) artinya 
• jika a > 0 maka berlaku  f(x) > g(x)
• jika 0< a < 1 maka berlaku  f(x) < g(x)
• syarat logaritma    f(x) > 0 , g(x) > 0

Fungsi Logaritma

      y = f(x) = ^alog x 
      a > 1
     sifat - sifat
     * monoton naik
     * memotong sumbu-x di titik (1,0)
     * kurva selalu di sebelah kanan sumbu-y
     * mempunyai asimtot x = 0
     * x maks maka y maks
     * x min maka y min
     

       y = f(x) = ^alog x
      0 < a < 1
     sifat - sifat
     * monoton turun
     * memotong sumbu-x di titik (1,0)
     * kurva selalu di sebelah kanan sumbu-y
     * mempunyai asimtot x = 0
     * x maks maka y min
     * x min maka y maks

Sekian dulu yaaa postingan kali ini terimakasih telah berkunjung :D

Mohon maaf bila ada salah kata - kata 

 Created by :